Theo bất đẳng thức $Cô-si$, ta có:
$\frac{3}{x+1}+x-1$
$=(\frac{3}{x+1}+x+1)-2≥2\sqrt[]{\frac{3}{x+1}.(x+1)}-2=2\sqrt[]{3}-2$
Dấu $"="$ xảy ra khi $\frac{3}{x+1}=x+1⇔(x+1)^2=3⇔x=-1±\sqrt[]{3}$
Do $x>-1$ nên $x=-1+\sqrt[]{3}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $\frac{3}{x+1}+x-1$ bằng $2\sqrt[]{3}-2$ khi và chỉ khi $x=-1+\sqrt[]{3}$.