Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Với gợi ý từ câu b) sử dụng tính chất: Với hai tam giác đồng dạng thì tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạngGiải chi tiết:\(\Delta IMN \sim \Delta IEF \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta IMN}}}}{{{S_{\Delta IEF}}}} = {\left( {\frac{{IM}}{{IE}}} \right)^2} \Rightarrow {S_{\Delta IMN}} = {S_{\Delta IEF}}.{\left( {\frac{{IM}}{{IE}}} \right)^2}\)
Gọi \(H\) là giao điểm của \(IA\) và \(FE\), có \(IA\) là trung trực của \(EF\) nên \(H\) là trung điểm của \(EF.\)
Vì \(\angle EAF = 60^\circ  \Rightarrow \angle EIF = 120^\circ  \Rightarrow \angle EIH = 60^\circ  \Rightarrow IH = IE.\cos 60^\circ  = \frac{r}{2}\)
\(EH = IE\sin 60^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}r \Rightarrow EF = r\sqrt 3 \)
\({S_{\Delta IEF}} = \frac{1}{2}IH.FE = \frac{1}{2}.\frac{r}{2}.r\sqrt 3  = \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Xét \(\Delta IME\) vuông tại \(E\) suy ra \(IM \ge IE \Rightarrow \frac{{IM}}{{IE}} \ge 1\)
\({S_{\Delta IMN}} = {S_{\Delta IEF}}.{\left( {\frac{{IM}}{{IE}}} \right)^2} \ge {S_{\Delta IEF}} = \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \(IMN\) là \(\frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{4}\), xảy ra khi tam giác \(ABC\) đều.