Đáp án: `P_{min}=\frac{3}{4}⇔x=\frac{1}{4}`
Giải thích các bước giải:
$ĐKXĐ:x≥0$
`P=\frac{x^2+x+1}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{(x^2+2x+1)-x}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{(x+1)^2-(\sqrt{x})^2}{x+\sqrt{x}+1}`
`=\frac{(x+1-\sqrt{x})(x+1+\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}+1}=x-\sqrt{x}+1`
`=[(\sqrt{x})^2-2.\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}]+\frac{3}{4}=(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}`
Do `(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^2≥0⇒P=(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}`
Dấu bằng xảy ra
`⇔(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^2=0⇔\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0⇔\sqrt{x}=\frac{1}{2}⇔x=\frac{1}{4}` (thỏa mãn ĐKXĐ)
