Đáp án:
\[m = \mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = 2\sqrt 2 + 1 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 + 1\]
Giải thích các bước giải:
Áp dụng Bất đẳng thức AM - GM với \(x > 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = x + \frac{2}{{x - 1}} = \left( {x - 1} \right) + \frac{2}{{x - 1}} + 1\\
\left( {x - 1} \right) + \frac{2}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right).\frac{2}{{x - 1}}} = 2\sqrt 2 \\
\Rightarrow f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right) + \frac{2}{{x - 1}} + 1 \ge 2\sqrt 2 + 1\\
f\left( x \right) = 2\sqrt 2 + 1 \Leftrightarrow x - 1 = \frac{2}{{x - 1}} \Leftrightarrow x - 1 = \sqrt 2 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 + 1\\
\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = 2\sqrt 2 + 1
\end{array}\)
Vậy \(m = \mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = 2\sqrt 2 + 1 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 + 1\)
