$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3x+1}}{x-1}$
$=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x+3-3x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1})}$
$=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{-2(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1} }$
$=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{-2}{\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}}$
$=\dfrac{-2}{2+2}$
$=\dfrac{-1}{2}$