Đáp án:
\(Min\,\,y = 3 - \sqrt 2 \,\) khi \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\) và \(Max\,\,y = 3 + \sqrt 2 \) khi \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1.\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}y = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} - \sin x + 2 = 1 + \cos x - \sin x + 2\\\,\,\,\,\, = \cos x - \sin x + 3 = \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + 3.\end{array}\)
Vì \( - 1 \le \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \)
\( \Rightarrow - \sqrt 2 + 3 \le \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + 3 \le 3 + \sqrt 2 .\)
Vậy \(Min\,\,y = 3 - \sqrt 2 \,\) khi \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\) và \(Max\,\,y = 3 + \sqrt 2 \) khi \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1.\)
