Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt $ u = \sqrt{a - 1} > 0; v = \sqrt{b - 4} > 0$
$ ⇔ a = u² + 1; b = v² + 4$
$ y = \dfrac{uv}{(u² + 1)(v² + 4)} = \dfrac{uv}{u²v² + 4u² + v² + 4}$
Với mọi $u, v > 0$ Áp dụng $AM - GM$ ta có:
$uv + \dfrac{4}{uv} + \dfrac{4u}{v} + \dfrac{v}{u} $
$≥ 2\sqrt{uv.\dfrac{4}{uv} } + 2\sqrt{\dfrac{4u}{v}.\dfrac{v}{u} } = 4 + 4 = 8$
$ ⇔ \dfrac{u²v² + 4u² + v² + 4}{uv} ≥ 8$
$ ⇔ \dfrac{uv}{(u² + 1)(v² + 4)} ≤ \dfrac{1}{8} ⇔ y ≤ \dfrac{1}{8}$
Vậy $GTLN$ của $y = \dfrac{1}{8}$ xảy ra khi :
$\left[ \begin{array}{l}uv = \dfrac{4}{uv} \\\dfrac{4u}{v} = \dfrac{v}{u} \end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}uv = 2\\\dfrac{u}{v} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$
$ ⇔\left[ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}a = 2\\b = 8\end{array} \right.$
