$A = 4x^2 - 3x + \dfrac{1}{4x} + 2021$
$= [(2x)^2 - 2.2x . 1 + 1 ] + x + \dfrac{1}{4x} + 2020$
$= (2x - 1)^2 + (x + \dfrac{1}{4x}) + 2020$
Ta có: $(2x - 1)^2 \geq 0 ∀ x$ (1) Dấu "=" xảy ra ⇔ $2x -1 = 0 ⇔ x = \dfrac{1}{2} (T/m)$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm ta có:
$x + \dfrac{1}{4x} \geq 2\sqrt{x.\dfrac{1}{4x}} = 1$(2)
Dấu "=" xảy ra ⇔ $ x = \dfrac{1}{4x}$
⇔ $x^2 = \dfrac{1}{4}$ mà $x > 0 ⇒ x = \dfrac{1}{2}$
Cộng vế với vế (1);(2) ta được:
$(2x - 1)^2 + (x + \dfrac{1}{4x}) \geq 1$
⇒ $A \geq 2021$ Dấu "=" xảy ra ⇔ $x = \dfrac{1}{2}$
Vậy $ A_{min} = 2021$ tại $x = \dfrac{1}{2}$
