Đặt \(t=\sqrt x\) và \(\dfrac{x+\sqrt x+4}{\sqrt x}=k\)
\(→\dfrac{t^2+t+4}{t}=k\\↔t^2+t+4=kt\\↔t^2+t+4-kt=0\\↔t^2+t(1-k)+4=0(*)\)
Để biểu thức đạt GTNN thì pt \( (*)\) phải có nghiệm
\(→Δ=(1-k)^2-4.1.4≥0\\↔1-2k+k^2-16≥0\\↔k^2-2k-15≥0\\↔k^2-5k+3k-15≥0\\↔k(k-5)+3(k-5)≥0\\↔(k+3)(k-5)≥0\\↔\left[\begin{array}{1}\begin{cases}k+3≥0\\k-5≥0\end{cases}\\\begin{cases}k+3≤0\\k-5≤0\end{cases}\end{array}\right.\\↔\left[\begin{array}{1}\begin{cases}k≥-3\\k≥5\end{cases}\\\begin{cases}k≤-3\\k≤5\end{cases}\end{array}\right.\\↔\left[\begin{array}{1}k≥5\\k≤-3\end{array}\right.\)
Vì \(k≥5→\min S =5\)
→ Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{t^2+t+4}{t}=5\\↔t=2\\↔\sqrt x=2\\↔x=4\)
Vậy \(\min S=5\) khi \(x=4\)
