$\\$
`|2x + 1| + |x-y+1|`
Với mọi `x,y` có : $\begin{cases} |2x+1| ≥0\\|x-y+1|≥0\end{cases}$
`-> |2x+1| + |x-y+1| ≥0∀x,y`
Dấu "`=`" xảy ra khi :
`↔` $\begin{cases} |2x+1| =0\\|x-y+1|=0\end{cases}$
`↔` $\begin{cases} 2x+1=0\\x-y+1=0\end{cases}$
`↔` $\begin{cases} 2x=-1\\x-y=-1\end{cases}$
`↔` $\begin{cases} x=\dfrac{-1}{2}\\y=\dfrac{-1}{2}+1\end{cases}$
`↔` $\begin{cases} x=\dfrac{-1}{2}\\y=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
Vậy GTNN của biểu thức là `0` khi $\begin{cases} x=\dfrac{-1}{2}\\y=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
$\\$
`|x+2| + 1/2 |2x-1|`
`= |x+2| + |1/2| . |2x-1|`
`= |x+2| + |1/2 (2x-1)|`
`= |x+2|+|x - 1/2|`
`= |x+2| + |1/2 - x|`
Áp dụng bất đẳng thức `|a| + |b| ≥ |a+b|` có :
`-> |x+2| + |1/2 -x| ≥ |x+2 + 1/2 -x|`
`-> |x+2| + |1/2 -x| ≥ 5/2 ∀x`
Dấu "`=`" xảy ra khi :
`↔ (x+2) (1/2 - x) ≥ 0`
`↔` \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x+2 \geqslant 0\\\dfrac{1}{2}-x\geqslant 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l}x+2 \leqslant 0\\\dfrac{1}{2} - x \leqslant 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) $\\$ `↔` \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \geqslant -2 \\x \leqslant \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \text{(Luôn đúng)}\\ \left\{ \begin{array}{l}x\leqslant -2 \\x \geqslant \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\text{(Vô lí)}\end{array} \right.\)
`↔ -2 ≤x≤1/2`
Vậy GTNN của biểu thức là `5/2` khi `-2 ≤x≤1/2`
