Lời giải:
Đặt `A = |x - 1| + |x + 2| + |x - 3| + |x - 4| + 5`
`⇒ A = (|x - 1| + |x - 3|) + (|x + 2| + |x - 4|) + 5`
`⇒ A = (|x - 1| + |3 - x|) + (|x + 2| + |4 - x|) + 5`
`⇒ A ≥ |x - 1 + 3 - x| + |x + 2 + 4 - x| + 5 = 2 + 6 + 5 = 13`
`⇒ A ≥ 13`
Dấu "`=`" xảy ra `⇔` $\left\{ \begin{array}{l}(x - 1)(3 - x) ≥ 0\\(x + 2)(4 - x) ≥ 0\end{array} \right.$
`⇔` $\left\{ \begin{array}{l}(x - 1)(x - 3) ≤ 0\\(x + 2)(x - 4) ≤ 0\end{array} \right.$
+) Với `(x - 1)(x - 3) ≤ 0`
`⇒ x - 1` và `x - 3` trái dấu
Mà `x - 1 > x - 3`
`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 ≥ 0\\x - 3 ≤ 0\end{array} \right.$
`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}x ≥ 1\\x ≤ 3\end{array} \right.$
`⇒ 1 ≤ x ≤ 3`
+) Với `(x + 2)(x - 4) ≤ 0`
`⇒ x + 2` và `x - 4` trái dấu
Mà `x + 2 > x - 4`
`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}x + 2 ≥ 0\\x - 4 ≤ 0\end{array} \right.$
`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}x ≥ -2\\x ≤ 4\end{array} \right.$
`⇒ -2 ≤ x ≤ 4`
Như vậy, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}1 ≤ x ≤ 3\\-2 ≤ x ≤ 4\end{array} \right.$
`⇒ 1 ≤ x ≤ 3`
Vậy Min `|x - 1| + |x + 2| + |x - 3| + |x - 4| + 5` là `13` `⇔ 1 ≤ x ≤ 3`
