Đáp án:
$MinP = 6\sqrt 3 \Leftrightarrow x = 5$
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: $2\le x\le 5$
Ta có:
$\begin{array}{l}
P = 6\sqrt {x - 2} + 8\sqrt {5 - x} \\
\Rightarrow {P^2} = {\left( {6\sqrt {x - 2} + 8\sqrt {5 - x} } \right)^2}\\
= 36\left( {x - 2} \right) + 96\sqrt {x - 2} .\sqrt {5 - x} + 64\left( {5 - x} \right)\\
= 36\left( {x - 2 + 5 - x} \right) + 96\sqrt {x - 2} .\sqrt {5 - x} + 28\left( {5 - x} \right)\\
= 36.3 + 96\sqrt {x - 2} .\sqrt {5 - x} + 28\left( {5 - x} \right)\\
= 108 + 96\sqrt {x - 2} .\sqrt {5 - x} + 28\left( {5 - x} \right)
\end{array}$
Lại có:
$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 2} .\sqrt {5 - x} \ge 0,\forall x,2 \le x \le 5\\
5 - x \ge 0,\forall x,2 \le x \le 5
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
96\sqrt {x - 2} .\sqrt {5 - x} \ge 0,\forall x,2 \le x \le 5\\
28\left( {5 - x} \right) \ge 0,\forall x,2 \le x \le 5
\end{array} \right.$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\Rightarrow {P^2} \ge 108,\forall x,2 \le x \le 5\\
\Rightarrow P \ge 6\sqrt 3 ,\forall x,2 \le x \le 5
\end{array}$
$ \Rightarrow MinP = 6\sqrt 3 $
Dấu bằng xảy ra:
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 2} .\sqrt {5 - x} = 0\\
5 - x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow 5 - x = 0\\
\Leftrightarrow x = 5
\end{array}$
Vậy $MinP = 6\sqrt 3 \Leftrightarrow x = 5$
