Đáp án:
GTNN là $-5$, đạt đc khi $x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi$.
Giải thích các bước giải:
Đặt $t = \tan x + cot x$. Khi đó $t \geq 2$ hoặc $t \leq -2$. Khi đó ta có
$t^2 = \tan^2 x + cot^2x + 2$
$\Leftrightarrow t^2 - 2 = \tan^2x + cot^2x$
Thay vào ta có
$y = t^2 - 2 + 3t - 1 = t^2 + 3t - 3$
Hso đạt GTNN tại $t = -\dfrac{3}{2}$ (ko nằm trong miền xđ). Lại có
$y(-2) = -5$, $y(2) = 7$
Vậy GTNN của hso là $-5$, đạt đc khi
$t = -2$
$\Leftrightarrow \tan x + cot x = -2$
$\Leftrightarrow \tan^2x + 2\tan x + 1 = 0$
$\Leftrightarrow (\tan x + 1)^2 = 0$
$\Leftrightarrow \tan x = -1$
$\Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi$
Vậy GTNN là $-5$, đạt đc khi $x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi$.