Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Chắc là $x² + y² = 1 (1)??$ Tùy chọn 1 trong 2 cách:
Cách 1: Áp dụng $BĐT$ Bunhiacopsky:
$ - \sqrt[]{(a² + b²)(c² + d²)} ≤ ac + bd ≤ \sqrt[]{(a² + b²)(c² + d²)} (*)$
Dấu = xảy ra khi $ ad = bc$ . Áp dụng $(*)$ ta có :
$ - \sqrt[]{(1² + \sqrt[]{3²})(x² + y²)} ≤ 1.x + \sqrt[]{3}.y ≤ \sqrt[]{(1² + \sqrt[]{3²})(x² + y²)} $
$ ⇔ - 2 ≤ f ≤ 2$
Vậy $ GTNN$ của $f = - 2 ⇔ 1.y = \sqrt[]{3}.x $ thay vào $(1):$
$ 4x² = 1 ⇔ x = - \dfrac{1}{2}; y = - \dfrac{\sqrt[]{3}}{2};$
$ GTLN$ của $f = 2 ⇔ 1.y = \sqrt[]{3}.x $ thay vào $(1):$
$ 4x² = 1 ⇔ x = \dfrac{1}{2}; y = \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}$
Cách 2 : Áp dụng tính chất hàm sin và cosin
$ x² + y² = 1 ⇔ x = cos\alpha; y = sin\alpha; \alpha ∈ [0; 2π]$
$ f = x + \sqrt[]{3}y = 2(\dfrac{1}{2}cos\alpha + \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}sin\alpha) = 2cos(\alpha - \dfrac{π}{3})$
Do $ - 1 ≤ cos(\alpha - \dfrac{π}{3}) ≤ 1 ⇔ - 2 ≤ f ≤ 2$
Vậy $GTNN$ của $f = - 2 ⇔ cos(\alpha - \dfrac{π}{3}) = - 1 $
$ ⇔ \alpha - \dfrac{π}{3} = π ⇔ \alpha = \dfrac{4π}{3}$
$ ⇔ x = cos(\dfrac{4π}{3}) = - \dfrac{1}{2}; y = sin(\dfrac{4π}{3}) = - \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}$
$GTLN$ của $f = 2 ⇔ cos(\alpha - \dfrac{π}{3}) = 1 $
$ ⇔ \alpha - \dfrac{π}{3} = 0 ⇔ \alpha = \dfrac{π}{3}$
$ ⇔ x = cos(\dfrac{π}{3}) = \dfrac{1}{2}; y = sin(\dfrac{π}{3}) = \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}$
