$mx^2-(2m+3)x+m-4=0$ (1)
Để phương trình (1) là phương trình bậc hai $⇔m\neq0$
a. $\Delta=[-(2m+3)]^2-4.m.(m-4)$
$=4m^2+12m+9-4m^2+16m$
$=28m+9$
Để phương trình có hai nghiệm (có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt)
$⇔\Delta≥0$
$⇔28m+9≥0$
$⇔m\ge\dfrac{-9}{28}$
Vậy để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì $m\ge\dfrac{-9}{28}$
b. Phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{2m+3}{m}\\x_1.x_2=\dfrac{m-4}{m}\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}x_1+x_2=2+\dfrac{3}{m}\\x_1.x_2=1-\dfrac{4}{m}\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}\dfrac{3}{m}=x_1+x_2-2(1)\\\dfrac{4}{m}=1-x_1.x_2(2)\end{cases}$
Từ (1) $\Rightarrow m=\dfrac{3}{x_1+x_2-2}$
Từ (2) $\Rightarrow m=\dfrac{4}{1-x_1.x_2}$
$\Rightarrow \dfrac{3}{x_1+x_2-2}=\dfrac{4}{1-x_1.x_2}$
$⇔3-3x_1.x_2=4(x_1+x_2)-8$
$⇔4(x_1+x_2)+3x_1.x_2=11$
Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_1,x_2$ không phụ thuộc vào $m$ là $4(x_1+x_2)+3x_1.x_2=11$
