Đáp án: $ - 4 ≤ m ≤ - 2$
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ $: x² + 2x + m ≥ 0$
$ PT ⇔ (\sqrt{x² + 2x + m} - 1)(\sqrt{x² + 2x + m} - 2) = 0 (*)$
$ ⇔ \left[ \begin{array}{l} \sqrt{x² + 2x + m} - 1 = 0\\\sqrt{x² + 2x + m} - 2 = 0\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l} x² + 2x + m - 1 = 0 (1)\\x² + 2x + m - 4 = 0(2)\end{array} \right.$
Để $(*)$ có nghiệm thì $(1); (2) $ phải có nghiệm:
$ Δ'_{1} = 1² - (m - 1) = 2 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (1)$
$ Δ'_{2} = 1² - (m - 4) = 5 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5(2)$
Gọi $2$ nghiệm của $(1)$ là $x_{1}; x_{2}$
$ ⇒ x_{1} + x_{2} = - 2 ⇒$ có ít nhất 1 nghiệm $< 0$
Gọi $2$ nghiệm của $(2)$ là $x_{3}; x_{4}$
$ ⇒ x_{3} + x_{4} = - 2 ⇒$ có ít nhất 1 nghiệm $< 0$
Để $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt trên $[1; 2]$
thì có thể giả sử $: x_{1} < 0 < x_{2}; x_{3} < 0 < x_{4}$
$ ⇒ x_{1} x_{2} = m - 1 < 0 ⇔ m < 1(3)$
$ ⇒ x_{3} x_{4} = m - 4 < 0 ⇔ m < 4(4)$
$ x_{2} ∈ [1; 2] ⇔ 1 ≤ - 1 + \sqrt{2 - m} ≤ 2 ⇔ - 7 ≤ m ≤ - 2 (5)$
$ x_{4} ∈ [1; 2] ⇔ 1 ≤ - 1 + \sqrt{5 - m} ≤ 2 ⇔ - 4 ≤ m ≤ 1 (6)$
$ (1); (2); (3); (4); (5); (6) ⇒ - 4 ≤ m ≤ - 2$
