Đáp án:
$ m = 4 \pm \sqrt{10}$
Giải thích các bước giải:
$(d): y = x + m - 1$
$(C): y = \dfrac{2x +1}{x+1}$
Phương trình hoành độ giao điểm $A,B$ giữa $(d)$ và $(C)$:
$x + m - 1 = \dfrac{2x +1}{x+1}$
$\Leftrightarrow (x+m-1)(x+1) = 2x + 1$
$\Leftrightarrow x^2 + (m-2)x + m - 2 =0$ $(*)$
$(d)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta_{(*)} > 0$
$\Leftrightarrow (m-2)^2 - 4(m-2) > 0$
$\Leftrightarrow (m-2)(m-6) > 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m > 6\\m < 2\end{array}\right.$
Ta có:
$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (yB - y_A)^2$
$\Leftrightarrow (2\sqrt3)^2 = (x_B - x_A)^2 +[x_B + m - 1 - (x_A + m - 1)]^2$
$\Leftrightarrow 12 = (x_B - x_A)^2 + (x_B - x_A)^2$
$\Leftrightarrow 6 = (x_B - x_A)^2$
$\Leftrightarrow (x_A + x_B)^2 - 4x_Ax_B = 6 \quad (**)$
Do $x_A; \, x_B$ là nghiệm của $(*)$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_A + x_B = 2 - m\\x_Ax_B = m - 2\end{cases}$
$\to (**) \Leftrightarrow (2 - m)^2 - 4.(m-2) = 6$
$\Leftrightarrow m^2 - 8m + 10 = 0$
$\Leftrightarrow m = 4 \pm \sqrt{10}$ (nhận)
