Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
- Gọi \(A\left( {a;a + m - 1} \right),\,\,B\left( {b;b + m - 1} \right)\,\,\,\left( {a < 0,\,\,b > 0} \right)\). Tính \(\tan \angle AOM,\,\,\tan \angle BON\).
- Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,\,B\) lên trục \(Ox\), chứng minh \(\angle AOM + \angle BON = {90^0}\) \( \Rightarrow \tan \angle AOM.\tan \angle BON = 1\).
- Áp dụng định lí Vi-ét. Sau đó giải phương trình tìm \(m\) và đối chiếu điều kiện.
Giải chi tiết:Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\dfrac{1}{2}{x^2} = x + m - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2m + 2 = 0\,\,\left( * \right)\).
Để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt và ba điểm \(O,\,\,A,\,\,B\) tạo thành 1 tam giác thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{0^2} - 2.0 - 2m + 2
e 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 2m - 2 > 0\\ - 2m + 2
e 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 > 0\\m
e 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{1}{2}\\m
e 1\end{array} \right.\).
Gọi \(A\left( {a;a + m - 1} \right),\,\,B\left( {b;b + m - 1} \right)\,\,\,\left( {a < 0,\,\,b > 0} \right)\).
Gọi \(M,\,\,N\) là hình chiếu vuông góc của \(A,\,\,B\) lên trục \(Ox\). Khi đó ta có \(OM = \left| {} \right|\)
\(OM = \left| {{x_A}} \right| = - a,\,\,AM = \left| {{y_A}} \right| = a + m - 1\) (do \({y_A} = \dfrac{1}{2}x_A^2 \ge 0\)).
\(ON = \left| {{x_B}} \right| = b,\,\,BN = \left| {{y_B}} \right| = b + m - 1\) (do \({y_B} = \dfrac{1}{2}x_B^2 \ge 0\)).
Xét tam giác vuông \(OAM\) có: \(\tan \angle AOM = \dfrac{{AM}}{{OM}} = \dfrac{{a + m - 1}}{{ - a}}\).
Xét tam giác vuông \(OBM\) có: \(\tan \angle BON = \dfrac{{BN}}{{ON}} = \dfrac{{b + m - 1}}{b}\).
Vì \(\angle AOM + \angle BON = {90^0}\) nên \(\tan \angle AOM.\tan \angle BON = 1\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{a + m - 1}}{{ - a}}.\dfrac{{b + m - 1}}{b} = 1\\ \Leftrightarrow ab + \left( {m - 1} \right)\left( {a + b} \right) + {\left( {m - 1} \right)^2} = - ab\\ \Leftrightarrow 2ab + \left( {m - 1} \right)\left( {a + b} \right) + {\left( {m - 1} \right)^2} = 0\,\,\,\,(**)\end{array}\)
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\ab = - 2m + 2\end{array} \right.\).
Thay vào (**) ta có:
\(\begin{array}{l}2\left( { - 2m + 2} \right) + \left( {m - 1} \right).2 + {\left( {m - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow - 4m + 4 + 2m - 2 + {m^2} - 2m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 3m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right) - 3\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = 3\).
Chọn A.
