Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$(P): y = x³ + 3x² + (m - 1)x + 1 ; (d) : y = 1$
$PTHĐGĐ$ của $(P)$ và $(d) : x³ + 3x² + (m - 1)x + 1 = 1$
$ ⇔ x(x² + 3x + m - 1) = 0 (1)$
$ (1) ⇒ (P)$ luôn cắt $(d)$ tại $C(0; 1)$ bất chấp $m$
Để $(P)$ cắt $(d)$ tại $A(x_{1}; y{1}); B(x_{2}; y_{2})$
thì PT $: x² + 3x + m - 1 = 0 (2)$ phải có 2 no pb $x_{1};x_{2}$
$ Δ = 3² - 4(m - 1) = 13 - 4m > 0 ⇔ m < \dfrac{13}{4}(*)$
Tính đạo hàm của $(P) : y' = 3x² + 6x + m - 1$
Từ $ (2) ⇒ x_{1}^{2} = - 3x_{1} - m + 1; x_{2}^{2} = - 3x_{2} - m + 1; $
Hệ số góc tiếp tuyến của $(P)$ tại $A; B∈(P)$ lần lượt là:
$ k_{A} = y'(x_{1}) = 3x_{1}^{2} + 6x_{1} + m - 1$
$ = 3(- 3x_{1} - m + 1) + 6x_{1} + m - 1 = - 3x_{1} - 2m + 2 $
$ k_{B} = y'(x_{2}) = 3x_{1}^{2} + 6x_{1} + m - 1$
$ = 3(- 3x_{2} - m + 1) + 6x_{2} + m - 1 = - 3x_{2} - 2m + 2$
Để 2 tiếp tuyến vuông góc nhau $ ⇔ k_{A}.k_{B} = - 1$
$ ⇔ (- 3x_{1} - 2m + 2 )(- 3x_{1} - 2m + 2 ) = - 1$
$ ⇔ 9x_{1}x_{2} + 6(m - 1)( x_{1} + x_{2}) + 4(m - 1)² = - 1$
$ ⇔ 9(m - 1) - 18(m - 1) + 4(m - 1)² = - 1$
$ ⇔ 4(m - 1)² - 9(m - 1) + 1 = 0$
Bạn tự giải $PT$ nầy $ : m = \dfrac{17 ± \sqrt{65}}{8} < \dfrac{13}{4} (TM(*))$
