$(I)\begin{cases}mx-y=1(1)\\x+my=m+6(2)\end{cases}$
Từ (1) $\Rightarrow y=mx-1(*)$
Thay $(*)$ vào (2) ta được:
$x+m(mx-1)=m+6$
$\Leftrightarrow x+m^2x-m=m+6$
$\Leftrightarrow x+m^2x=m+6+m$
$\Leftrightarrow x(1+m^2)=2m+6$ (3)
Do $m^2+1\geq1>0$ nên phương trình (3) luôn có nghiệm duy nhất
$\Rightarrow$ Hệ phương trình $(I)$ có nghiệm duy nhất với mọi $m$.
Từ (3) $\Rightarrow x=\dfrac{2m+6}{m^2+1}$
Thay $x=\dfrac{2m+6}{m^2+1}$ vào $(*)$ ta được:
$y=m.\dfrac{2m+6}{m^2+1}-1$
$\Leftrightarrow y=\dfrac{2m^2+6m}{m^2+1}-1$
$\Leftrightarrow y=\dfrac{2m^2+6m-m^2-1}{m^2+1}$
$\Leftrightarrow y=\dfrac{m^2+6m-1}{m^2+1}$
Để hệ phương trình $(I)$ có hai nghiệm $x;y$ thỏa mãn $3x-y=1$
$\Leftrightarrow 3.\dfrac{2m+6}{m^2+1}-\dfrac{m^2+6m-1}{m^2+1}=1$
$\Leftrightarrow \dfrac{6m+18-m^2-6m+1}{m^2+1}-1=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{-m^2+19}{m^2+1}-\dfrac{m^2+1}{m^2+1}=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{-m^2+19-m^2-1}{m^2+1}=0$
$\Rightarrow -2m^2+18=0$
$\Leftrightarrow -2m^2=-18$
$\Leftrightarrow m^2=9$
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}m=3(tmdk)\\m=-3(tmdk)\end{array} \right.\)
Vậy để hệ phương trình $(I)$ có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $3x-y=1$ thì $m=3$ hoặc $m=-3$.
