Giải thích các bước giải:
Ta có :
$\begin{cases}x^2+y^2+2x+2y=6\\x^2y^2+2xy^2+2x^2y+4xy=m\end{cases}$
$\to\begin{cases}(x+y)^2-2xy+2(x+y)=6\\x^2y^2+2xy(x+y)+4xy=m\end{cases}$
Đặt $x+y=S, xy=P\to S^2\ge 4P$
$\to\begin{cases}S^2-2P+2S=6\\P^2+2SP+4P=m\end{cases}$
$\to S^2-2P+2S+P^2+2SP+4P=6+m$
$\to 2P+2S+(P^2+2SP+S^2)=6+m$
$\to (S+P)^2+2(S+P)+1=7+m$
$\to (S+P+1)^2=7+m$
$\to m+7\ge 0\to m\ge -7$
$\to S+P+1=\pm\sqrt{7+m}$
$\to P=-S-1\pm\sqrt{7+m}\le \dfrac{S^2}{4}$
$\to-4S-4\pm4\sqrt{7+m}\le S^2$
$\to S^2+4S+4\ge \pm4\sqrt{7+m}$
$\to (S+2)^2\ge \pm4\sqrt{7+m}$
Vì $(S+2)^2\ge 0\ge -4\sqrt{7+m}$
$\to m\ge -7$ luôn có nghiệm
Vậy $m\ge -7$
