Đáp án:
\[m = \dfrac{{ - 18 \pm 6\sqrt {22} }}{{13}}\]
Giải thích các bước giải:
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
\Leftrightarrow {m^2} - 1.\left( {m - 1} \right) > 0\\
\Leftrightarrow {m^2} - m + 1 > 0\\
\Leftrightarrow \left( {{m^2} - m + \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{3}{4} > 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0,\,\,\,\,\,\forall m
\end{array}\)
Suy ra phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}.{x_2} = m - 1
\end{array} \right.\)
Kết hợp giả thiết ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
3{x_1} + 5{x_2} = \dfrac{{17m}}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = 2m - {x_1}\\
3{x_1} + 5.\left( {2m - {x_1}} \right) = \dfrac{{17m}}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = 2m - {x_1}\\
- 2{x_1} = - \dfrac{{13m}}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = \dfrac{{13m}}{6}\\
{x_2} = - \dfrac{m}{6}
\end{array} \right.\\
{x_1}{x_2} = m - 1\\
\Leftrightarrow \dfrac{{13m}}{6}.\left( { - \dfrac{m}{6}} \right) = m - 1\\
\Leftrightarrow - 13{m^2} = 36m - 36\\
\Leftrightarrow 13{m^2} + 36m - 36 = 0\\
\Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 18 \pm 6\sqrt {22} }}{{13}}
\end{array}\)
Vậy \(m = \dfrac{{ - 18 \pm 6\sqrt {22} }}{{13}}\)
