Đáp án:
\(m > 0\) và \(m \ne 1\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}2\sqrt {x + 1} - x = m + 1\left( {DK:x \ge - 1} \right)\\ \Leftrightarrow x + 1 - 2\sqrt {x + 1} + 1 = - m + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1} - 1} \right)^2} = 1 - m\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\).
Với \(m = 1\) thì phương trình (*) là \({\left( {\sqrt {x + 1} - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 1 \Leftrightarrow x = 0\) hay phương trình có nghiệm duy nhất (loại)
Với \(m < 1\) thì (*)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1} - 1 = \sqrt {1 - m} \\\sqrt {x + 1} - 1 = - \sqrt {1 - m} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1} = 1 + \sqrt {1 - m} \\\sqrt {x + 1} = 1 - \sqrt {1 - m} \end{array} \right.\)
\(1 - \sqrt {1 - m} > 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 - m} < 1 \Leftrightarrow 1 - m < 1 \Leftrightarrow m > 0\)
Vậy với \(m > 0\) và \(m \ne 1\) thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
