Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\).
- Đặt \(t = \sin x,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc ba ẩn \(t\).
- Đưa phương trình bậc ba ẩn \(t\) về dạng tích.
- Sử dụng đồ thị hàm số để biện luận nghiệm.Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2{\sin ^3}x - 5{\cos ^2}x - \left( {2m - 3} \right)\sin x = 4m - 7\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x - 5\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - \left( {2m - 3} \right)\sin x = 4m - 7\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x + 5{\sin ^2}x - \left( {2m - 3} \right)\sin x - 4m + 2 = 0\end{array}\)
Đặt \(t = \sin x,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), khi đó phương trình trở thành
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2{t^3} + 5{t^2} - \left( {2m - 3} \right)t - 4m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 2} \right)\left( {2{t^2} + t - 2m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 2\,\,\left( {KTM} \right)\\2{t^2} + t - 2m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\).
Ta có đồ thị hàm số \(y = \sin x\) trên \(\left( { - \pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) như sau:

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương thuộc \(\left( { - \pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) thì phương trình (*) cần có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \( - 1 < {t_1} < 0 < {t_2} < 1\).
Xét phương trình (*) có: \(\Delta  = {1^2} - 4.2.\left( { - 2m + 1} \right) = 16m - 7 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{7}{{16}}\).
Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {16m - 7} }}{4}\\{t_2} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {16m - 7} }}{4}\end{array} \right.\).
Ta có:
\(\begin{array}{l} - 1 < {t_1} < 0 < {t_2} < 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < \dfrac{{ - 1 - \sqrt {16m - 7} }}{4} < 0\\0 < \dfrac{{ - 1 + \sqrt {16m - 7} }}{4} < 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 <  - 1 - \sqrt {16m - 7}  < 0\\0 <  - 1 + \sqrt {16m - 7}  < 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 <  - \sqrt {16m - 7}  < 1\\1 < \sqrt {16m - 7}  < 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < \sqrt {16m - 7}  < 3\\1 < \sqrt {16m - 7}  < 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 1 < \sqrt {16m - 7}  < 3\\ \Leftrightarrow 1 < 16m - 7 < 9\\ \Leftrightarrow 8 < 16m < 16\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < m < 1\end{array}\) 
Vậy \(m \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right)\).