Đáp án:
\(m > \dfrac{9}{2}\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + mx + 2} = 2x + 1\\
\to {x^2} + mx + 2 = 4{x^2} + 4x + 1\left( {DK:x > - \dfrac{1}{2}} \right)\\
\to 3{x^2} + \left( {4 - m} \right)x - 1 = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
⇔ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt và \({x > - \dfrac{1}{2}}\)
\(\begin{array}{l}
\to \left\{ \begin{array}{l}
16 - 8m + {m^2} + 12 > 0\\
{x_1} > - \dfrac{1}{2}\\
{x_2} > - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 8m + 28 > 0\left( {ld} \right)\forall m\\
\left( {{x_1} + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{x_2} + \dfrac{1}{2}} \right) > 0
\end{array} \right.\\
\to \left( {{x_1} + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{x_2} + \dfrac{1}{2}} \right) > 0\\
\to {x_1}{x_2} + \dfrac{1}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \dfrac{1}{4} > 0\\
\to - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{m - 4}}{3}} \right) + \dfrac{1}{4} > 0\\
\to \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{m - 4}}{3}} \right) - \dfrac{1}{{12}} > 0\\
\to \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{m - 4}}{3}} \right) > \dfrac{1}{{12}}\\
\to \dfrac{{m - 4}}{3} > \dfrac{1}{6}\\
\to m - 4 > \dfrac{1}{2}\\
\to m > \dfrac{9}{2}
\end{array}\)
