Để ptrinh có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta > 0$ hay
$(m-2)^2 - 4(3m+1) > 0$
$<-> m^2 -16m >0$
Vậy $m > 16$ hoặc $m < 0$
Áp dụng Viet ta có
$x_1 + x_2 = 2-m, x_1 x_2 = 3m+1$
Theo đề bài ta có
$x_1^2 + x_2^2 = 5$
$<-> (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 5$
$<-> (2-m)^2 - 2(3m+1) = 5$
$<-> m^2 -10m -3 = 0$
$<-> m = 5 \pm 2 \sqrt{7}$
Vậy $m = 5 - 2\sqrt{7}$