Phương trình $x^2-3x+m+1=0(1)$ có $\Delta=9-4(m+1)=5-4m$
Với $\Delta=0\Rightarrow m=\dfrac 5 4$ khi đó phương trình có nghiệm
$x=\dfrac 3 2\in [-3;4)$
Với $\Delta \ge 0\Rightarrow m\le \dfrac 5 4$
Để (1) có nghiệm thuộc [−3,4) khi một trong các trường hợp sau xảy ra:
Trường hợp có $2$ nghiệm thuộc $[-3;4)$
$\begin{array}{l} - 3 \le {x_1} < {x_2} < 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1.f\left( { - 3} \right) \ge 0\\ 1.f\left( 4 \right) > 0\\ - 3 \le \dfrac{S}{2} < 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 19 + m \ge 0\\ 5 + m > 0\\ - 3 \le \dfrac{3}{2} < 4 \end{array} \right.\\ \Rightarrow m > - 5 \end{array}$
Trường hợp 1 nghiệm thuộc [−3,4)
$\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} - 3 \le {x_1} < 4 < {x_2}\\ {x_1} < - 3 \le {x_2} < 4 \end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 3} \right)f\left( 4 \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {19 + m} \right)\left( {5 + m} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow - 19 \le m \le - 5 \end{array}$
Từ hai trường hợp trên ta được $m\ge -19$ thỏa mãn yêu cầu đề bài
