Đáp án:
$m = 1$
Giải thích các bước giải:
Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A(1;-1)$
$\Rightarrow d: y = k(x-1)-1$
Phương trình hoành độ giao điểm giữa $d$ và $(C)$
$\quad k(x-1) - 1 =\dfrac{x^2 + x + m}{x+1}$
$\Leftrightarrow (k-1)x^2 - 2x - k - 1 - m = 0\qquad (*)$
$d$ là tiếp tuyến của $(C)$
$\Leftrightarrow (*)$ có nghiệm kép
$\Leftrightarrow \begin{cases}k \ne 1\\\Delta_{(*)}' = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}k \ne 1\\1 + (k-1)(k+m+1)= 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}k \ne 1\\k^2 + mk - m = 0\qquad (**)\end{cases}$
Từ $A$ kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau
$\Leftrightarrow (**)$ có hai nghiệm $k_1,\ k_2$ sao cho $k_1.k_2 =-1$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_{(**)} > 0\\P = -1\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m^2 + 4m > 0\\- m = -1\end{cases}$
$\Leftrightarrow m = 1$
Vậy $m = 1$
