Đáp án:
`Max_C=\sqrt{2}` khi `(x;y)=(3/2;5/2)`
Giải thích các bước giải:
ĐKXD: `x>=1;y>=2`
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:
`\sqrt{x}+\sqrt{y}<=\sqrt{2(x+y)}`
`-> x+y+2\sqrt{xy}<=2(x+y)`
`->x+y-2\sqrt{xy}>=0`
`->(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2>=0` (luôn đúng)
Dấu `=` xảy ra khi `x=y`
`->`Bất đẳng thức cần chứng minh đúng
Áp dụng điều đó vào bài, ta có:
`\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}<=\sqrt{2(x-1+y-2)}=\sqrt{2(x+y-3)}=\sqrt{2(4-3)}=\sqrt{2}`
`->C<=\sqrt{2}`
Dấu `=` xảy ra khi
\begin{cases} x-1=y-2 \\ x+y=4 \end{cases} `-> ` \begin{cases} x-y=-1 \\ x+y=4 \end{cases} `-> ` \begin{cases} x-y+x+y=-1+4 \\ x-y=-1 \end{cases} `-> ` \begin{cases} 2x=3 \\ x-y=-1 \end{cases} `-> ` \begin{cases} x=\dfrac{3}{2} \\ y=\dfrac{5}{2} \end{cases} `->(x;y)=(3/2;5/2)`
