Đáp án:
`Max_M=2sqrt3<=>a=b=1.`
Giải thích các bước giải:
`M=asqrt{b(a+2b)}+bsqrt{a(b+2a)}`
`M=sqrt{ab}(sqrt{a(a+2b)}+sqrt{b(b+2a)})`
Áp dụng bất đẳng thức bunhiakovsky với 2 cặp số `(sqrta,sqrtb),(sqrt{a+2b},sqrt{b+2a})`
`=>(sqrta^2+sqrtb^2)(sqrt{b+2a}^2+sqrt{a+2b}^2)>=(sqrt{a(a+2b)}+sqrt{b(b+2a)})^2`
`<=>(sqrt{b(b+2a)}+sqrt{a(a+2b)})^2<=(a+b)(3a+3b)`
`<=>(sqrt{b(b+2a)}+sqrt{a(a+2b)})^2<=3(a+b)(a+b)=3(a+b)^2`
`<=>sqrt{b(b+2a)}+sqrt{a(a+2b)}<=sqrt3(a+b)`
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
`a^2+b^2>=2ab`
`<=>2(a^2+b^2)>=(a+b)^2`
`<=>2.2>=(a+b)^2`
`<=>(a+b)^2<=4`
`<=>a+b<=2`
`<=>sqrt{b(b+2a)}+sqrt{a(a+2b)}<=2sqrt3`
Mặt khác:`sqrt{ab}<=(a+b)/2`
`=>sqrt{ab}<=1`
`=>M<=1.2sqrt3=2sqrt3`
Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\a+b=2\\\end{cases}\)
`<=>a=b=1.`
Vậy `Max_M=2sqrt3<=>a=b=1.`
