Đáp án:
GTNN $A = 2\sqrt[]{3}$ khi $x = 3$
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ : $x > 0$
Cách 1 :
Ta đi chứng minh : $A ≥ 2\sqrt[]{3}$ với $∀ x > 0$
⇔ $\frac{x+3}{\sqrt[]{x}} ≥ 2\sqrt[]{3}$
⇔ $x + 3 ≥ 2\sqrt[]{3x}$
⇔ $x - 2\sqrt[]{3x} + 3 ≥ 0$
⇔ $( \sqrt[]{x} - \sqrt[]{3} )^{2} ≥ 0$ luôn đúng với $∀ x > 0$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $\sqrt[]{x} - \sqrt[]{3} = 0$
⇔ $\sqrt[]{x} = \sqrt[]{3}$
⇔ $x = 3$
Cách 2 :
$A = \frac{x+3}{\sqrt[]{x}}$
⇔ $A = \sqrt[]{x} + \frac{3}{\sqrt[]{x}}$
Áp dụng bất đẳng thức cô - si cho 2 số dương :
$\sqrt[]{x} + \frac{3}{\sqrt[]{x}} ≥ 2\sqrt[]{\sqrt[]{x}.\frac{3}{\sqrt[]{x}}}$
⇔ $A ≥ 2\sqrt[]{3}$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $\sqrt[]{x} = \frac{3}{\sqrt[]{x}}$
⇔ $x = 3$
