Đáp án:
\[{P_{\min }} = 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = \frac{1}{4}
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
Bất đẳng thức Bunhia- Copski như sau:
\(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\,\,\,\,\,\left( {x;y > 0} \right)\)
Chứng minh:
\(\begin{array}{l}
\left( {x + y} \right).\left( {\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y}} \right) \ge {\left( {\sqrt x .\sqrt {\frac{{{a^2}}}{x}} + \sqrt y .\sqrt {\frac{{{b^2}}}{y}} } \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\\
\Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\)
Áp dụng BĐT trên ta được:
\(\begin{array}{l}
P = \frac{4}{x} + \frac{1}{{4y}} = \frac{{16}}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} \ge \frac{{{{\left( {4 + 1} \right)}^2}}}{{4.\left( {x + y} \right)}} = \frac{{25}}{{4.\frac{5}{4}}} = 5\\
P = 5 \Leftrightarrow \frac{4}{{4x}} = \frac{1}{{4y}} \Leftrightarrow x = 4y \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = \frac{1}{4}
\end{array} \right.\\
{P_{\min }} = 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = \frac{1}{4}
\end{array} \right.
\end{array}\)
