Giải:

Vì \(n+1\) và \(2n+1\) là số chính phương

Nên ta đặt: \(\begin{cases}n+1=k^2\\2n+1=m^2\end{cases}\) \(\left(k,m\in N\right)\)

Ta có:

\(m\) lẻ \(\Rightarrow m=2a+1\Rightarrow m^2=4a\left(a+1\right)+1\)

\(\Rightarrow n=\dfrac{m^2-1}{2}=\dfrac{4a\left(a+1\right)}{2}=2a\left(a+1\right)\)

\(\Rightarrow n\) chẵn \(\Rightarrow n+1\) lẻ \(\Rightarrow k\) lẻ

\(\Rightarrow\) Đặt \(k=2b+1\left(b\in N\right)\Rightarrow k^2=4b\left(b+1\right)+1\)

\(\Rightarrow n=4b\left(b+1\right)\Rightarrow n⋮8\left(1\right)\)

Lại có: \(k^2+m^2=3n+2\) \(\equiv\) \(2\left(mod3\right)\)

Mặt khác \(k^2,m^2\div3\) dư \(1\) hoặc \(0\)

Nên để \(k^2+m^2\) \(\equiv\) \(2\left(mod3\right)\) thì \(\begin{cases}k^2\equiv1(mod3)\\m^2\equiv1(mod3)\end{cases}\)

\(\Rightarrow m^2-k^2⋮3\) Hay \(\left(2n+1\right)-\left(n+1\right)⋮3\Rightarrow n⋮3\left(2\right)\)

Kết hợp \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3;8\right)=1\) \(\Rightarrow n⋮24\)

Mà \(n\) có hai chữ số \(\Rightarrow n=24;48;72;96\)

Bằng phép thử ta tìm được \(n=24\)