Đáp án: `n∈{0;1;4;7;8;9}`

Giải thích các bước giải:

Đặt:

$A=n(n-1)(n-7)(n-8)$

$=[n(n-8)][(n-1)(n-7)]$

$=(n^2-8n)(n^2-8n+7)$

Để $A$ là số chính phương

$⇔A=m^2(m∈Z)$

$⇔n(n-1)(n-7)(n-8)=(n^2-8n)(n^2-8n+7)=m^2(*)$

$⇔(2n^2-16n)(2n^2-16n+14)=4m^2$

$⇔(2n^2-16n+7-7)(2n^2-16n+7+7)=4m^2$

$⇔(2n^2-16n+7)^2-49=4m^2$

$⇔(2n^2-16n+7)^2-4m^2=49$

$⇔(2n^2-16n+7-2m)(2n^2-16n+7+2m)=49$

Do $m∈Z;n∈N$

$⇒2n^2-16n+7-2m∈Z;2n^2-16n+7+2m∈Z$

`⇒2n^2-16n+7-2m∈Ư(49)={-49;-7;-1;1;7;49}`

Xét các trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu $2n^2-16n+7-2m=-7$

$⇒2n^2-16n+7+2m=-7$

$⇒2n^2-16n+7-2m=2n^2-16n+7+2m$

$⇒-2m=2m$

$⇒4m=0⇒m=0$

Thay $m=0$ vào $(*)$, ta được: 

$n(n-1)(n-7)(n-8)=0$

$⇔\left[ \begin{array}{l}n=0\\n-1=0\\n-7=0\\n-8=0\end{array} \right.$ 

$⇔\left[ \begin{array}{l}n=0\\n=1\\n=7\\n=8\end{array} \right.$  (thỏa mãn)

Trường hợp 2: Nếu $2n^2-16n+7-2m=7$

$⇒2n^2-16n+7+2m=7$

$⇒2n^2-16n+7-2m=2n^2-16n+7+2m$

$⇒-2m=2m$

$⇒4m=0⇒m=0$

(Giải tương tự trường hợp 1)

Trường hợp 3: Nếu $2n^2-16n+7-2m=-49(1)$

$⇒2n^2-16n+7+2m=-1$

$⇒(2n^2-16n+7+2m)+(2n^2-16n+7-2m)=(-1)+(-49)$

$⇔2(2n^2-16n+7)=-50$

$⇔2n^2-16n+7=-25$

$⇔2n^2-16n+32=0$

$⇔n^2-8n+16=0$

$⇔(n-4)^2=0$

$⇔n-4=0⇔n=4$ (thỏa mãn)

Thử lại ta thấy thỏa mãn A là số chính phương,m thỏa mãn $(1)$

Trường hợp 4: Nếu $2n^2-16n+7-2m=-1(2)$

$⇒2n^2-16n+7+2m=-49$

$⇒(2n^2-16n+7+2m)+(2n^2-16n+7-2m)=(-1)+(-49)$

$⇔2(2n^2-16n+7)=-50$

$⇔2n^2-16n+7=-25$

$⇔2n^2-16n+32=0$

$⇔n^2-8n+16=0$

$⇔(n-4)^2=0$

$⇔n-4=0⇔n=4$ (thỏa mãn)

Thử lại ta thấy thỏa mãn A là số chính phương, m thỏa mãn $(2)$

Trường hợp 5: Nếu $2n^2-16n+7-2m=1(3)$

$⇒2n^2-16n+7+2m=49$

$⇒(2n^2-16n+7+2m)+(2n^2-16n+7-2m)=1+49$

$⇔2(2n^2-16n+7)=50$

$⇔2n^2-16n+7=25$

$⇔2n^2-16n-18=0$

$⇔n^2-8n-9=0$

$⇔n^2+n-9n-9=0$

$⇔n(n+1)-9(n+1)=0$

$⇔(n-9)(n+1)=0$

$⇔\left[ \begin{array}{l}n-9=0\\n+1=0\end{array} \right. $

$⇔\left[ \begin{array}{l}n=9\\n=-1\end{array} \right. $

Đối chiếu điều kiện, ta được $n=9$

Thử lại ta thấy thỏa mãn A là số chính phương,m thỏa mãn $(3)$

Trường hợp 6: Nếu $2n^2-16n+7-2m=49(4)$

$⇒2n^2-16n+7+2m=1$

$⇒(2n^2-16n+7+2m)+(2n^2-16n+7-2m)=1+49$

$⇔2(2n^2-16n+7)=50$

$⇔2n^2-16n+7=25$

$⇔2n^2-16n-18=0$

$⇔n^2-8n-9=0$

$⇔n^2+n-9n-9=0$

$⇔n(n+1)-9(n+1)=0$

$⇔(n-9)(n+1)=0$

$⇔\left[ \begin{array}{l}n-9=0\\n+1=0\end{array} \right. $

$⇔\left[ \begin{array}{l}n=9\\n=-1\end{array} \right. $

Đối chiếu điều kiện, ta được $n=9$

Thử lại ta thấy thỏa mãn A là số chính phương,m thỏa mãn $(4)$

Vậy `n∈{0;1;4;7;8;9}`