Đáp án + Giải thích các bước giải:
$x^2+8=xy+6x -5y$
$⇔x^2-6x+8=xy-5y$
$⇔(x-1)(x-5)+3=y(x-5)$
$⇔(y-x+1)(x-5)=3=1.3=3.1=(-1).(-3)=(-3).(-1)$
Xét các trường hợp trên ta được:
$-\begin{cases} y-x+1=1\\x-5=3 \end{cases}⇔\begin{cases} x=8\\y=8 \end{cases}$
$-\begin{cases} y-x+1=3\\x-5=1 \end{cases}⇔\begin{cases} x=6\\y=8 \end{cases}$
$-\begin{cases} y-x+1=-1\\x-5=-3 \end{cases}⇔\begin{cases} x=2\\y=0 \end{cases}$
$-\begin{cases} y-x+1=-3\\x-5=-1 \end{cases}⇔\begin{cases} x=4\\y=0 \end{cases}$
Vậy nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn là $(8;8)$ $(6;8)$ $(2;0)$ $(4;0)$
Ta có: $P=\dfrac{2x^2+8y^2+24xy}{x+2y}$
$=2.\dfrac{(x^2+4xy+4y^2)+8xy}{x+2y}$
$=2.\dfrac{(x-2y)^2+8xy}{x+2y}$
$=2.[(x+2y)+\dfrac{1}{x+2y}]$ (Do $8xy=1$)
Theo $AM-GM$ ta có:
$P\geq 2.2.\sqrt{(x+2y).\dfrac{1}{x+2y}}=4$
Dấu $"="$ xảy ra khi $\begin{cases} x+2y=\dfrac{1}{x+2y}\\8xy=1 \end{cases}$
$⇔\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{1}{4} \end{cases}$
Vậy GTNN của $P$ là $4$ khi $x=\dfrac{1}{2}$ và $y=\dfrac{1}{4}$
