Đáp án: Tập nghiệm là $(x; y) ∈ ((0; 0); (0;-1); (0;-2); (0;-3))$
Giải thích các bước giải:
Vế phải $= y(y + 1)(y + 2)(y + 3) = y(y + 3)(y + 1)(y + 2) = (y² + 3y)(y² + 3y + 2) = (y² + 3y)² + 2(y² + 3y) = (y² + 3y)² + 2(y² + 3y) + 1 - 1 = (y² + 3y + 1)² - 1$
Thay vào PT :
$x² = (y² + 3y + 1)² - 1$
$⇔ (y² + 3y + 1)² - x² = 1$
$⇔ (y² + 3y + 1 + x)(y² + 3y + 1 - x) = 1 (*)$
Do $x; y $ nguyên $⇒ y² + 3y + 1 + x$ và $y² + 3y + 1 - x$ nguyên nên từ $(*)$ suy ra chỉ có 2 trường hợp xảy ra:
\(\left[ \begin{array}{l}y² + 3y + 1 + x = 1(1)\\y² + 3y + 1 - x = 1(2)\end{array} \right.\)
Lấy $(1) - (2)$ vế với vế : $2x = 0 ⇒ x = 0$
Thay vào $(1) ⇒ y² + 3y = 0 ⇔ y(y + 3) = 0 ⇔ y = 0; y = - 3$
Hoặc:
\(\left[ \begin{array}{l}y² + 3y + 1 + x = - 1(3)\\y² + 3y + 1 - x = - 1(4)\end{array} \right.\)
Lấy $(3) - (4)$ vế với vế : $2x = 0 ⇒ x = 0$
Thay vào $(3)$
$⇒ y² + 3y + 2 ⇔ (y + 1)(y + 2) = 0 ⇔ y = - 1; y = - 2$
