Nhìn đây mà rút kinh nghiệm!
Giải:
Ta cần chứng minh \(\left(a,b\right).\left[a,b\right]=ab\)
Gọi \(d=\left(a,b\right)\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}a=da'\\b=db'\end{matrix}\right.\) \(\left(1\right).\) Trong đó \(\left(a',b'\right)=1\)
Đặt \(\dfrac{ab}{d}=m\left(2\right),\) Ta cần chứng minh rằng \(\left[a,b\right]=m\)
Để chứng minh điều này, cần chứng tỏ tồn tại các số tự nhiên \(x,y\) sao cho \(m=ax,m=by\) và \(\left(x,y\right)=1\)
Thật vậy từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra:
\(\left\{{}\begin{matrix}m=a.\dfrac{b}{d}=ab'\\m=b.\dfrac{a}{d}=ba'\end{matrix}\right.\) Do đó ta chọn \(x=b',y=a'.\) Thế thì:
\(\left(x,y\right)=1\) vì \(\left(a',b'\right)=1\)
Vậy \(\dfrac{ab}{d}=\left[a,b\right],\) Tức là \(\left(a,b\right).\left[a,b\right]=ab\) (Đpcm) \((*)\)
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{15}{35}\Rightarrow\dfrac{a}{15}=\dfrac{b}{35}\)
Đặt \(\dfrac{a}{15}=\dfrac{b}{35}=k\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=15k\\b=35k\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left(a,b\right).\left[a,b\right]=ab=3549\) (Từ (1))
\(\Rightarrow15k.35k=3549\Leftrightarrow k=\pm2,6\)
Thay vào ta tính được:
\(a=39,b=91\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{39}{91}\)
Thử lại đúng \(100\%.\) Hiểu không?
