ta có : \(A=1+5+5^2+...+5^{2016}+5^{2017}\) có \(2017\) số hạng
mà \(2017\) chia cho \(3\) dư \(1\)
\(\Rightarrow\) ta có thể gợp \(A\) lại từng tổng số hạng như sau
\(A=1+\left(5+5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5+5^6\right)+...+\left(5^{2015}+5^{2016}+5^{2017}\right)\)
\(A=1+5\left(1+5+5^2\right)+5^4\left(1+5+5^2\right)+...+5^{2015}\left(1+5+5^2\right)\)
\(A=1+5\left(1+5+25\right)+5^4\left(1+5+25\right)+...+5^{2015}\left(1+5+25\right)\)
\(A=1+5.31+5^4.31+...+5^{2015}.31\)
\(A=1+31\left(5+5^4+...+5^{2015}\right)\)
ta có : \(31\left(5+5^4=...+5^{2015}\right)⋮31\)
\(\Rightarrow31\left(5+5^4+...+5^{2015}\right)\) chia hết cho \(31\)
mà \(1< 3\) nên \(1\) không thể chia cho 3 thêm được nữa
\(\Rightarrow A=1+31\left(5+5^4+...+5^{2015}\right)\) chia cho \(31\) dư \(1\)
vậy \(A=1+31\left(5+5^4+...+5^{2015}\right)\) chia cho \(31\) dư \(1\)
