$\text{Ta có:}$
$\text{p=2 ⇒p+6=2+6=8 chia hết cho 4}$
$\text{⇒p+6 không là số nguyên tố}$
$\text{⇒p=2 không thoả mãn}$
$\text{p=3 ⇒p+12=3+12=15 chia hết cho 5}$
$\text{⇒p+12 không là số nguyên tố}$
$\text{⇒p=3 không thoả mãn}$
$\text{p=5}$
$\text{⇒p+6=5+6=11 là số nguyên tố}$
$\text{⇒p+12 =5+12=17 là số nguyên tố}$
$\text{⇒p+8 =5+8=13 là số nguyên tố}$
$\text{⇒p+14 =5+14=19 là số nguyên tố}$
$\text{Vậy p=5 thoả mãn}$
$\text{Với p>5 mà p là số nguyên tố}$
$\text{⇒p chỉ có dạng là 5k+1;5k+2;5k+3;5k+4}$
$\text{Với p=5k+1}$
$\text{⇒p+14=5k+1+14=5k+15=5(k+3) chia hết cho 5}$
$\text{⇒p+14 là không là số nguyên tố}$
$\text{⇒p=5k+1 loại}$
$\text{Với p=5k+2}$
$\text{⇒p+8=5k+2+8=5k+10=5(k+2) chia hết cho 5}$
$\text{⇒p+8 không là số nguyên tố}$
$\text{⇒p=5k+2 loại}$
$\text{Với p=5k+3}$
$\text{⇒p+12=5k+12+3=5k+15=5(k+3) chia hết cho 5}$
$\text{⇒p+12 không là số nguyên tố}$
$\text{⇒p=5k+3 loại}$
$\text{Với p=5k+4}$
$\text{⇒p+6=5k+4+16=5k+20=5(k+4) chia hết cho 5}$
$\text{⇒p+6 không là số nguyên tố}$
$\text{⇒p=5k+4 loại}$
$\text{Vậy p=5 là số nguyên tố cần tìm để}$ $\text{p+6,p+8,p+12,p+14 đều là số nguyên tố}$
