Đáp án:
$\overline{xyz}=152$
Giải thích các bước giải:
Xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1:Với $n≥1$ và vì $x≥1$ nên:
Nếu $y=z=0$ thì $\sqrt[3]{\overline{xyz}}=\sqrt[3]{x.100} ∉ N$ trong khi $(x+y+z)^{4n} ∈ N$
$⇒$Vô lí
Nếu $y+z≥1$ thì $x+y+z≥2:$
$⇒(x+y+z)^{4n}≥2^4=16>10=\sqrt[3]{1000}>\sqrt[3]{\overline{xyz}}$
$⇒$ Vô lí
Vậy với $n≥1$ không thỏa mãn
Trường hợp 2:Với $n=0:$
$\sqrt[3]{\overline{xyz}}=x+y+z⇔\overline{xyz}=(x+y+z)^3$ (1)
Mặt khác:
$64<\overline{xyz}<1000⇔64<(x+y+z)^3<1000$
$⇔4<x+y+z<10$ (2)
Nếu $a∈N$ thì $a^3$ chia cho $9$ có số dư là $0,1,8$:
$⇒(x+y+z)^3$ chia cho $9$ có số dư là $0,1,8$
$⇔\overline{xyz}$ chia cho $9$ có số dư là $0,1,8$
$⇔x+y+z$ chia cho $9$ có số dư là $0,1,8$ (3)
$(2);(3)⇒x+y+z=8$ hay $x+y+z=9$
$+$Với $x+y+z=8$,ta có:
$\overline{xyz}=(x+y+z)^3=8^3=512=(5+1+2)^3(TM)$
$+$Với $x+y+z=9$,ta có:
$\overline{xyz}=(x+y+z)^3=9^3=729$ khác $(7+2+9)^3(L)$
Vậy $\overline{xyz}=512$
