Tìm số tất cả các giá trị nguyên của tham số thực để phương trình \(2{\sin ^3}2x + m\sin 2x + 2m + 4 = 4{\cos ^2}2x\) có nghiệm thuộc \(\left( {0;\frac{\pi }{6}} \right)\). A.4 B.3 C.1 D.6
Đáp án đúng: C Giải chi tiết:Đặt \(t=\sin 2x\) mà \(x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right)\)\(\Rightarrow \,\,t\in \left( 0;\frac{\sqrt{3}}{2} \right).\) Mà \({\sin ^2}2x + {\cos ^2}2x = 1 \Rightarrow \,\,{\cos ^2}2x = 1 - {t^2}.\) Khi đó, phương trình đã cho trở thành: \(2{{t}^{3}}+\left( t+2 \right)m+4=4\left( 1-{{t}^{2}} \right)\Leftrightarrow m=-\frac{2{{t}^{3}}+4{{t}^{2}}}{t+2}=-2{{t}^{2}}.\) Để phương trình \(m=-2{{t}^{2}}\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\Rightarrow \,\,-2.{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}} Kết hợp với \(m \in Z\, \Rightarrow \,m = - 1\) là giá trị cần tìm. Chọn C.