Đáp án: $a. n=0$
$b.n=6$
Giải thích các bước giải:
a.Nếu $n=0\to 2^n+3=4$ là số chính phương $\to n=0$ chọn
Nếu $n=1\to 2^n+3=2^1+3=5$ không là số chính phương $\to n=1$ loại
Nếu $n> 1\to n\ge 2\to 2^n\quad\vdots\quad 4\to 2^n+3$ chia $4$ dư $3\to 2^n+3$ không là số chính phương
$\to n>1$ loại
b.Để $2^n+57$ là số chính phương
$\to 2^n+57=x^2, x\in N^*$
Vì $2^n+57\quad\not\vdots\quad 3$
$\to x^2\quad\not\vdots\quad 3$
$\to x^2$ chia $3$ dư $1$
$\to 2^n+57$ chia $3$ dư $1$
$\to 2^n$ chia $3$ dư $1$
$\to n=2y, y\in N$
$\to 2^{2y}+57=x^2$
$\to x^2-2^{2y}=57$
$\to x^2-(2^{y})^2=57$
$\to (x-2^y)(x+2^y)=57$
$\to (x-2^y,x+2^y)$ là cặp ước của $57$
Mà $x+2^y>x-2^y$
$\to (x-2^y,x+2^y)\in \{(1,57), (3,19)\}$
$\to (2x,2\cdot 2^y)\in \{(58,56), (22,16)\}$
$\to (x,2^y)\in \{(29,28), (11,8)\}$
$\to (x,2^y)= (11,8)$
$\to x=11, y=3$
$\to n=6$
