a) Giả sử 4n + 34n + 3 và 2n + 32n + 3 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì: 2(2n + 3) − (4n + 3) ⋮ d → 3 ⋮ d → d = 3 Để (2n + 3,4n + 3) = 1 thì d≠3. Ta có: 4n + 3 không chia hết cho 3 nếu 4n không chia hết cho 3 hay n không chia hết cho 3. Kết luận: Với n không chia hết cho 3 thì 4n + 3 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. b) Giả sử 7n + 13 và 2n + 4 cùng chia hết cho số nguyên tố d. Ta có: 7(2n + 4) − 2(7n + 13) ⋮ d → 2 ⋮ d→ d ∈ {1; 2} Để (7n + 13, 2n + 4) = 1 thì d ≠ 2 Ta có: 2n + 4 luôn chia hết cho 2 khi đó 7n + 13 không chia hết cho 2 nếu 7n chia hết cho 3 hay n chia hết cho 2.. Kết luận: Với n chẵn thì thì 7n + 13 và 2n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. c)1. Xét n chẵn, hai số đều chẵn → không nguyên tố cùng nhau 2. Xét n lẻ, ta chứng minh 2 số này luôn nguyên tố cùng nhau 9n + 24 = 3(3n + 8) Vì 3n + 4 không chia hết cho 3, nên ta xét tiếp 3n + 8 Giả sử k là ước số của 3n + 8 và 3n + 4, đương nhiên k lẻ (a) →k cũng là ước số của (3n + 8) − (3n + 4) = 4→k chẵn (b) Từ (a) và (b) → Mâu thuẫn Vậy với n lẻ, 2 số đã cho luôn luôn nguyên tố cùng nhau d)d) Giả sử 18n + 3 và 21n + 7 cùng chia hết cho số nguyên tố d Ta có: 6(21n + 7) − 7(18n + 3) ⋮ d → 21 ⋮ d → d ∈ {3; 7}. Hiển nhiên d ≠ 3 vì 21n + 721n + 7 không chia hết cho 3. Để (18n + 3, 21n + 7) = 1 thì d ≠ 7 tức là 18n + 3 không chia hết cho 7, nếu 18n + 3 − 21 không chia hết cho 7 ↔ 18(n − 1) không chia hết cho 7↔n − 1 không chia hết cho 7 ↔ n ≠ 7k + 1 (k ∈ N). Kết luận: Với n ≠ 7k + 1 (k ∈ N) thì 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.