Đáp án+Giải thích các bước giải:
Ta có : `n` là số tự nhiên
`⇒n+3>2`
`⇒` Để `n+3` là số nguyên tố thì `n+3` lẻ
`⇒n` chẵn
`⇒ 2n+7` lẻ
Đặt `2n+7 = m^3`
Vì `2n+7` lẻ `⇒m^3` lẻ
`⇒m` lẻ
`⇒m` có dạng `2k+1`
`2n+7 = (2k+1)^3`
`⇔2n+6+1=8k^3+12k^2+6k+1`
`⇔2(n+3) = 2k(4k^2+6k+3)`
`⇔ n+3 = k(4k^2+6k+3)` `(1)`
`⇒ n+3 \vdots k`
Hay `k \in Ư(n+3)`
Mà `n+3` là số nguyên tố
$⇒\left[\begin{matrix} k=1\\ k=n+3\end{matrix}\right.$
`+)` Với `k=1` thay vào `(1)` ta được :
`(1) ⇒ n+3 = 1.(4. 1^2 + 6.1 + 3)`
`⇔ n+3 = 13` `(TM)`
`⇔ n = 10`
`+)` Với `k=n+3` thay vào `(1)` ta được :
`(1) ⇒ n+3 = (n+3)[(n+3)^2 + 6(n+3) +3]`
`⇔ 1 = (n+3)^2 + 6(n+3) +3` `(` Loại `)`
Vì : `n+3 > 2` `⇒ (n+3)^2 + 6(n+3) +3 > 1`
