Gọi d là ước nguyên tố chung của 5n + 2 và 2n + 7
Ta có: $\frac{5n + 2d 2(5n + 2)}{2n + 7d 5(2n + 7)}$ (10n + 35) - (10n + 4) d 31 d
Vì d là nguyên tố nên d = 31
Khi đó: $\frac{5n + 2 31 5n + 2 -62 31 5n - 60 31 5(n - 12) 31}{2n + 7 31 2n + 7 - 31 31 2n - 24 31 2(n - 12)32}$
Mà: (5,31) = 1;(2,31) = 1 ⇒ n - 12 31 n = 31k + 12 (k ∈ N)
Do 290n36029031k + 123609k 11, mà k là số tự nhiên nên k ∈ 9; 10; 11
Từ đó tìm được n ∈ 291; 322; 353