Gọi $ƯCLN(x,y)=d$ ⇒$\ x\vdots d$ và $\ y\vdots d$
⇒$x=da$ và $y=db$ $(a,b∈N*;ƯCLN(a,b)=1)$
mà $2x+y=36$
⇒$2.da+db=36$
⇒$d.(2a+b)=36$ $(*)$
⇒$\ 36\vdots d$
⇒$d∈Ư(36)$ $(1)$
Ta lại có: $BCNN(x,y).ƯCLN(x,y)=xy$
⇒$BCNN(x,y)=\dfrac{xy}{ƯCLN(x,y)}$
⇒$BCNN(x,y)=\dfrac{da.db}{d}$
⇒$BCNN(x,y)=dab$
mà $ƯCLN(x,y)+3.BCNN(x,y)=78$
⇒$d+3.dab=78$
⇒$d.(1+3.ab)=78$ $(**)$
⇒$\ 78\vdots d$
⇒$d∈Ư(78)$ $(2)$
Từ $(1),(2)$ ⇒$d∈ƯC(36;78)$
Ta có: $36=2^2.3^2$
$78=2.3.13$
⇒$ƯCLN(36;78)=2.3=6$
⇒$ƯC(36;78)=Ư(6)={1;2;3;6}
⇒$d∈{1;2;3;6}$
Mặt khác từ $d.(1+3.ab)=78$
⇒$d.(1+3.ab)=3.26$
mà $1+3.ab$ không chia hết cho 3; 3 là số nguyên tố
⇒$\ d\vdots3$
⇒$d∈{3;6}$
Kiểm tra lại bằng cách thay lần lượt các giá trị của d vào $(*)$ và $(**)$ ta thấy $d=6$ thỏa mãn và khi đó thì $a=1⇒x=6$; $b=4⇒y=24$.
Vậy $x=6$ và $y=24$.
