Đáp án:
\( - \dfrac{{25}}{{16}} < m < 0\).
Giải thích các bước giải:
TH1: \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\)
\( \Rightarrow 4.1 = 0\) (Vô nghiệm).
TH2: \(\cos x \ne 0\), chia cả 2 vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta có: \(4{\tan ^2}x - 5\tan x + m = 0\).
Đặt \(t = {\mathop{\rm tanx}\nolimits} \), với \(x \in \left( {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow t > 0\).
\( \Rightarrow 4{t^2} - 5t + m = 0 \Leftrightarrow 4{t^2} - 5y = - m\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 4{t^2} - 5t\) với \(t > 0\) ta có BBT:
(Tham khảo hình vẽ)
Để phương trình có 2 nghiệm thì \( - \dfrac{{25}}{{16}} < m < 0\).
Vậy \( - \dfrac{{25}}{{16}} < m < 0\).