Đáp án:
$C.\, m\geq -1$
Giải thích các bước giải:
$y = 2^{\displaystyle{x^3 - x^2 + mx}}$
$y' = (3x^2 - 2x + m).2^{\displaystyle{x^3 - x^2 + mx}}.\ln2$
Hàm số đồng biến trên $[1;2]$
$\Leftrightarrow y' \geq 0 \quad \forall x \in [1;2]$
$\Leftrightarrow (3x^2 - 2x + m).2^{\displaystyle{x^3 - x^2 + mx}}.\ln2\geq 0 \quad \forall x \in [1;2]$
$\Leftrightarrow 3x^2 - 2x + m \geq 0 \quad \forall x \in [1;2]$
$\Leftrightarrow m \geq - 3x^2 + 2x \quad \forall x \in [1;2]$
$\Leftrightarrow m \geq \mathop{\max}\limits_{x\in [1;2]}(-3x^2 + 2x)$
Xét $f(x) = -3x^2 + 2x$
$f'(x) = -6x + 2$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac13$
Ta có bảng biến thiên $f(x)$ trên $[1;2]$
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & &\dfrac{1}{3}& & 1 & &2 & & +\infty\\
\hline
y' & & + & 0& -& \vert & - &\vert & - &\\
\hline
&&&&&-1&&\vert\\
y & &&&&\vert&\searrow &\vert\\
&&&&&\vert&&-8\\
\hline
\end{array}$
Dựa vào bảng biến thiên, ta được:
$\mathop{\max}\limits_{x\in [1;2]}f(x) = f(1) = -1$
Do đó:
$m \geq -1$
