Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = x + 3 - m\) cắt parabol \(y = {x^2}\) tại hai điểm phân biệt. A.\(m < \dfrac{{13}}{4}\) B.\(m < 3\) C.\(m > 3\) D.\(m > \dfrac{13}{4}\)
Phương pháp giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số. Đường thẳng \(d\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0.\) Giải chi tiết:Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,\,y = x + 3 - m\) và parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) ta có: \({x^2} = x + 3 - m\) \( \Leftrightarrow {x^2} - x + m - 3 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\) Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 1 - 4\left( {m - 3} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 1 - 4m + 12 > 0\\ \Leftrightarrow 4m < 13 \Leftrightarrow m < \dfrac{{13}}{4}.\end{array}\) Vậy \(m < \dfrac{{13}}{4}\) thỏa mãn bài toán. Chọn A.