$\begin{array}{l}\text{- Gọi $d$ là 1 ước chung nguyên tố của $7n+6$ và $6n+7$}\\(d\in\mathbb{Z};d\ne0)\\\to\begin{cases} 7n+6\ \vdots\ d\\6n+7\ \vdots\ d\end{cases}\\\to\begin{cases} 6(7n+6)\ \vdots\ d\\7(6n+7)\ \vdots\ d\end{cases}\\\to\begin{cases} 42n+36\ \vdots\ d\\42n+49\ \vdots\ d\end{cases}\\\to (42n+49)-(42n+36)\ \vdots\ d\\\to13\ \vdots\ d\\\to d\in Ư(13)=\{\pm1;\pm13\}\\\text{mà $d$ nguyên tố}\\\to d=13\\\text{- Để $\dfrac{7n+6}{6n+7}$ rút gọn được thì $\begin{cases} 7n+6\ \vdots\ 13\\6n+7\ \vdots\ 13\quad\text{(luôn đúng $\forall\ 7n+6\ \vdots\ 13$)}\end{cases}$}\\\to 7n+6\ \vdots\ 13\\\to 7n+6-13\ \vdots\ 13\\\to 7n-7\ \vdots\ 13\\\to 7(n-1)=13\\\text{mà $(7,13)=1$}\\\to n-1\ \vdots\ 13\\\to n-1=13k\quad(k\in\mathbb{Z})\\\to n=13k+1\\\text{- Vậy để $\dfrac{7n+6}{6n+7}$ rút gọn được thì $n=13k+1\quad(k\in\mathbb{Z})$} \end{array}$
